Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，b）（b＞0），點P是直線AB上位于第二象限內的一個動點，過點P作PC⊥x軸于點C，記點P關于y軸的對稱點為Q，設點P的橫坐標為a．

（1）當b=3時，
①求直線AB的解析式；
②若QO=QA，求P點的坐標．
（2）是否同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由A（4，0），B（0，3），

設直線AB解析式為y=kx+b，

把A與B坐標代入得： ，

解得：k=- ，b=3，

則直線AB解析式為y=- x+3；

②∵QA=QO，OA=4，

∴xQ=2，

∵點P關于y軸的對稱點為Q，

∴xP=-2，

代入直線AP解析式得- ×（-2）+3= ，

則P坐標得P（-2， ）

（2）解：①若∠QAC=90°，如圖1所示，

∴xQ=4，

∴a=xP=-4，

∴AC=AQ=8，即P（-4，8），

∴直線AP解析式為y=-x+4，

∴a=-4，b=4；

②若∠AQC=90°，如圖2所示，

則AC=4-a=2CH=-4a，

∴a=- ，

∴xP=- ，yP=yq= ，即P（- ， ），

∴直線AP解析式為y=- x+2，

∴a=- ，b=2，

綜上所示，a=-4，b=4或a=- ，b=2

【解析】（1）①由題意確定出B坐標，設直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入求出k與b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的長，確定出Q橫坐標，根據P與Q關于y軸對稱，得出P橫坐標，代入直線AB解析式求出縱坐標，即可確定出P坐標；
（2）同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分兩種情況考慮：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分別求出a與b的值即可．
【考點精析】掌握確定一次函數的表達式是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法．