Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的⊙O 與 BC 相交于點 D， 與 CA 的延長線相交于點 E，過點 D 作 DF⊥AC 于點 F．

（1）試說明 DF 是⊙O 的切線；

（2）①當∠C= °時，四邊形 AODF 為矩形；

②當 tanC= 時，AC=3AE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①45°；②

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可證∠ODB=∠C，從而OD//AC，可證OD⊥DF，即可解決問題；

（2）①當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，由等腰三角形的性質，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結論；

②直接利用銳角三角函數關系得出BC的長，再利用直角三角形的性質得出DE的長．

解：（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD//AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，點D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切線；

（2）45°，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，

∴∠BAC=90°，

∵∠ODF=∠AFD=90°，

∴四邊形AODF為矩形；

（3），理由如下，

連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE2=AB2－AE2 =8AE2，

即BE=AE，

在Rt△BEC中，tanC=．

故答案為：．