Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，點O是AB邊上的動點，以O為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點為D，過點D作AB的垂線，交于點E，連結BE、AE．

（1）當AE∥BC（如圖（1））時，求⊙O的半徑；

（2）設BO=x，AE=y，求y關于x的函數關系式；

（3）若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點D、E，當恰好也過點C時，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ；（3）或12

【解析】試題（1）過點O作OG⊥BD于G，設AB與DE的交點為F，如圖（1），易證△AEF≌△BDF及四邊形AEDC是平行四邊形，從而可得BD=DC=5，根據垂徑定理可得BG=DG=BD=，然后在Rt△BGO中運用三角函數和勾股定理即可求出⊙O的半徑長；

（2）過點A作AH⊥BC于H，如圖（2），運用三角函數、勾股定理及面積法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根據垂徑定理可得DF=EF，再根據線段垂直平分線的性質可得AE=AD．然后在Rt△BGO中運用三角函數和勾股定理可求出BG（用x的代數式表示），進而可用x的代數式依次表示出BD、DH，AD、AE，問題得以解決；

（3）①若點D在H的左邊，如圖（2），根據等腰三角形的性質可得DH=CH，從而依次求出BD、DF、DE的長；②若點D在H的右邊，則點D與點C重合，從而可依次求出BD、DF、DE的長．

解：（1）過點O作OG⊥BD于G，設AB與DE的交點為F，如圖（1），

根據垂徑定理可得BG=DG．

∵AE∥BC，∴∠AEF=∠BDF．

在△AEF和△BDF中，

，

∴△AEF≌△BDF，

∴AE=BD．

∵∠BFD=∠BAC=90°，

∴DE∥AC．

∵AE∥BC，

∴四邊形AEDC是平行四邊形，

∴AE=DC，

∴BD=DC=BC=5，

∴BG=DG=BD=．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG=×=，

∴OB===，

∴⊙O的半徑長為；

（2）過點A作AH⊥BC于H，如圖（2），

在Rt△BAC中，

tan∠ABC==，

設AC=3k，則AB=4k，

∴BC=5k=10，

∴k=2，

∴AC=6，AB=8，

∴AH===，

∴BH===，

∴HC=BC﹣BH=10﹣=．

∵AB⊥DE，

∴根據垂徑定理可得DF=EF，

∴AB垂直平分DE，

∴AE=AD．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG，

∴OB===BG=x，

∴BG=x，

∴BD=2BG=，

∴DH=BH﹣BD=﹣x，

∴y=AE=AD=

=

=（0＜x≤）；

（3）①若點D在H的左邊，如圖（2），

∵AD=AC，AH⊥DC，

∴DH=CH=，

∴BD=BH﹣DH=﹣=．

在Rt△BFD中，

tan∠FBD==，

∴BF=DF，

∴BD=

=

=DF=，

∴DF=，

∴DE=2DF=；

②若點D在H的右邊，

則點D與點C重合，

∴BD=BC=10，

∴DF=10，

∴DF=6，

∴DE=2DF=12．

綜上所述：當⊙A恰好也過點C時，DE的長為或12．