Question

【題目】（1）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D在斜邊AB上，點E在直角邊BC上，若∠CDE＝45°，求證：△ACD∽△BDE．

（2）如圖2所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝10cm，點E在BC上，連接AE，過點E作EF⊥AE交CD（或CD的延長線）于點F．

①若BE：EC＝1：9，求CF的長；

②若點F恰好與點D重合，請在備用圖上畫出圖形，并求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①CF＝；②BE的長為2cm或8cm

【解析】

（1）由等腰直角三角形性質知∠A=∠B=45°、∠ACD+∠ADC=135°，根據∠CDE=45°知∠ADC+∠BDE=135°，據此得出∠BDE=∠ACD，從而得證；
（2）①由矩形的性質及EF⊥AE知∠BAE+∠AEB=90°、∠CEF+∠BEA=90°，得出∠BAE=∠CEF，即可證△BAE∽△CEF得=，據此計算可得；
②設BE=xcm，由①得△BAE∽△CEF，據此知=，即=，解之即可.

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠ACD+∠ADC=135°，

∵∠CDE=45°，

∴∠ADC+∠BDE=135°，

∴∠BDE=∠ACD，

∴△ACD∽△BDE；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵∠AEF=90°，

∴∠CEF+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴=，

∵BE：EC=1：9，

∴BE=BC=1cm，CE=9cm，

∴=，CF=；

②如圖所示，設BE=xcm，

由①得△BAE∽△CEF，

∴=，即=，

整理，得：x2﹣10x+16=0，

解得：x1=2，x2=8，

所以BE的長為2cm或8cm．