Question

【題目】正方形ABCD的邊長為4，以B為原點建立如圖1平面直角坐標系中，E是邊CD上的一個動點，F是線段AE上一點，將線段EF繞點E順時針旋轉90°得到EF'.

(1)如圖2，當E是CD中點，時，求點F'的坐標.

(2)如圖1，若，且F'，D，B在同一直線上時，求DE的長.

(3)如圖3，將正邊形ABCD改為矩形，AD=4，AB=2，其他條件不變，若，且F'，D，B在同一直線上時，則DE的長是_______.(請用含n的代數式表示)

Answer 1

【答案】(1)點F'的坐標是(6，6)；(2)；(3)

【解析】

（1）如圖2，作EM⊥AB于M，交CD延長線于H，證明△AME≌△F'HE，求出AM=F'H=2，EM=EH=4，即可解決問題；

（2）如圖1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長線于H，連接BF'，設DE=x，首先證明FM是三角形的中位線，再利用全等三角形的性質構建方程即可解決問題；

（3）如圖3，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長線于H，連接BF'，設DE=x，AE=1，AF=n，利用平行線分線段成比例求出FM，EM，再利用全等三角形的性質求出EH，H F'，再根據三角函數求出DH，構建方程即可解決問題.

解：（1）如圖2，作EM⊥AB于M，交CD延長線于H，

∵E是CD中點，

∴四邊形AMED是矩形，

∵∠AME=∠AEF'=∠MEH=∠H=90°，

∴∠AEM+∠AEH=90°，∠AEH+∠HEF'=90°，

∴∠AEM=∠HEF'，EA= EF'，

∴△AME≌△F'HE，

∴AM=F'H=2，EM=EH=4，

∴F'(6，6)；

（2）如圖1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長線于H，連接BF'，設DE=x，

∵，

∴AF=EF，

∵FM∥AD，∴DM=ME=，FM =，

∠AEM+∠HEF'=90°，∠AEM+∠MFE=90°，

∴∠HEF'=∠MFE，

因為∠FME=∠HF'E=90°，EF= EF'，

∴△FME≌△EHF'，

∴HF'=ME=，EH=FM=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠HDF'=∠BDC=45°，

∴DH= HF'=，

∴，

解得，

∴DE=.

（3）如圖3，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長線于H，連接BF'，設DE=x，AE=1，AF=n，

∵FM∥AD，∴，

∴FM=4-4n，EM=x-xn，

由（2）可知△FME≌△EHF'，

∴HF'=EM=x-xn，EH=FM=4-4n，

∵，

∴DH=，

∴，

∴，

即.