Question

【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x經過原點O,且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．

（1）求拋物線的頂點A的坐標及點B,C的坐標；

（2）求證：∠ABC=90°；

（3）在直線BC上方的拋物線上是否存在點P,使△PBC的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（1，1）, B（2，0），C（-1，-3）;(2)證明見解析;(3) 存在滿足條件的點P，（ ，

);(4) 存在滿足條件的N點，其坐標為（5，0）或（-1，0）或（，0）或（，0）．

）；

【解析】（1）把拋物線解析式化為頂點式可求得A點坐標，聯立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標；

（2）由A、B、C的坐標可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；

（3）過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，設出P點坐標，則可表示出G點坐標，從而可表示出PG的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值時P點坐標；

（4）設出M、N的坐標，則可表示出MN和ON的長度，由相似三角形的性質可得到關于N點坐標的方程可求得N點坐標．

解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，

∴拋物線頂點坐標A（1，1），

聯立拋物線與直線解析式可得，解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）證明：

由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），

∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，

AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°；

（3）如圖，過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，

設P（t，﹣t2+2t），則G（t，t﹣2），

∵點P在直線BC上方，

∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=時，S△PBC有最大值，此時P點坐標為（， ），

即存在滿足條件的點P，其坐標為（， ）；

（4）∵∠ABC=∠ONM=90°，

∴當△OMN和△ABC相似時，有或，

設N（m，0），

∵MN⊥x軸，

∴M（m，﹣m2+2m），

∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，

①當時，即=，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；

②當時，即=，解得m=或m=或m=0（舍去）；

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（5，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

“點睛”此題考查了二次函數的綜合應用，涉及了相似三角形的判定與性質、勾股定理，解答本題需要我們熟練各個知識點的內容，認真探究題目，謹慎作答．