Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），點的坐標為，與軸交于點，作直線．動點在軸上運動，過點作軸，交拋物線于點，交直線于點，設點的橫坐標為．

（1）直接寫出拋物線的解析式__________和直線的解析式_________；

（2）當點在線段上運動時，直接寫出線段長度的最大值_________；

（3）當點在線段上運動時，若是以為腰的等腰直角三角形時，求的值；

（4）當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+3，y=x+3；（2）；（3）m=2；（4）或

【解析】

(1)由A、C兩點的坐標利用待定系數法可求得拋物線解析式，則可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得直線BC的解析式；
(2)用m可分別表示出N、M的坐標，則可表示出MN的長，再利用二次函數的最值可求得MN的最大值；
(3)由題意可得當△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時則有MN=MC，且MC⊥MN，則可求表示出M點坐標，代入拋物線解析式可求得m的值；
(4)由條件可得出MN=OC，結合(2)可得到關于m的方程，可求得m的值．

解：(1)∵拋物線過A、C兩點，
∴代入拋物線解析式可得，解得，
∴拋物線解析式為y=x2+2x+3，
令y=0可得，x2+2x+3=0，解x1=1，x2=3，
∵B點在A點右側，
∴B點坐標為(3,0)，
設直線BC解析式為y=kx+b，
把B、C坐標代入可得，解得，
∴直線BC解析式為y=x+3,

故答案為y=x2+2x+3，y=x+3；
(2)∵PM⊥x軸，點P的橫坐標為m，
∴M(m,m2+2m+3)，N(m,m+3)，
∵P在線段OB上運動，
∴M點在N點上方，
∴MN=m2+2m+3(m+3)=m2+3m=(m )2+ ，
∴∴當m=時，MN有最大值，MN的最大值為，

故答案為；

(3)∵PM⊥x軸，
∴當△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時，則有CM⊥MN，
∴M點縱坐標為3，
∴m2+2m+3=3，解得m=0或m=2，
當m=0時，則M、C重合，不能構成三角形，不符合題意，舍去，
∴m=2；
(4)∵PM⊥x軸，
∴MN//OC，
當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，
當點P在線段OB上時，則有MN=m2+3m，
∴m2+3m=3，此方程無實數根，
當點P不在線段OB上時，則有MN=m+3(m2+2m+3)=m23m，
∴m23m=3，解得m=或m=，
綜上可知當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為或．