Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x軸于點A、B，與y軸交于點C，AB＝6．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點R為第一象限的拋物線上一點，分別連接RB、RC，設△RBC的面積為s，點R的橫坐標為t，求s與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，如圖3，點D在x軸的負半軸上，點F在y軸的正半軸上，點E為OB上一點，點P為第一象限內一點，連接PD、EF，PD交OC于點G，DG＝EF，PD⊥EF，連接PE，∠PEF＝2∠PDE，連接PB、PC，過點R作RT⊥OB于點T，交PC于點S，若點P在BT的垂直平分線上，OB﹣TS＝，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）s=﹣t2+4t；（3）當a＝1時，R（2，4），當a＝時，R（，）．

【解析】

（1）由題意可求A（-2，0），B（4，0），將A點代入y=ax2-2ax+4，即可求a的值；

（2）設R（t，﹣t2+t+4），過點R作x、y軸的垂線，垂足分別為R'，R'，可得四邊形RR'OR'是矩形，求出S△OCR＝OCRR'＝×4t＝2t，S△ORB＝OBRR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，則有S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；

（3）設EF、PD交于點G'，連EG，可證明OP是EG的垂直平分線，過P作KP⊥x軸于K，PW⊥y軸于W，交RT于點H，則四邊形PWOK是正方形，設OT＝2a，則TK＝KB＝CW＝2﹣a，HT＝OK＝PW＝2+a，可求HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，又由tan∠HPS＝，可得，則a＝1或a＝，即可求R得坐標.

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝1，AB＝6，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

將點A代入y＝ax2﹣2ax+4，則有0＝4a+4a+4，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2+x+4；

（2）

設R（t，﹣t2+t+4），

過點R作x、y軸的垂線，垂足分別為R'，R'，

則∠RR'O＝∠RR'O＝∠R'OR'＝90°，

∴四邊形RR'OR'是矩形，

∴RR'＝OR'＝t，OR'＝RR'＝﹣t2+t+4，

∴S△OCR＝OCRR'＝×4t＝2t，

S△ORB＝OBRR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，

∴S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；

（3）

設EF、PD交于點G'，連EG，

∵PD⊥EF，

∴∠FG'G＝∠DG'E＝90°＝∠DOG，

∴∠OFE＝∠GDO，

∵∠DGO＝∠FOE＝90°，EF＝DG，

∴OP是EG的垂直平分線，

∴OP平分∠COB，

過P作KP⊥x軸于K，PW⊥y軸于W，交RT于點H，

則PW＝PK，∠PWO＝∠PKO＝∠WOK＝90°，

∴四邊形PWOK是正方形，

∴WO＝OK，

∵OC＝OB＝4，

∴CW＝KB，

∵P在BT垂直平分線上，

∴PT＝PB，

∴TK＝KB＝CW，

設OT＝2a，則TK＝KB＝CW＝2﹣a，

HT＝OK＝PW＝2+a，

∵OB﹣TS＝，

∴HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，

∵tan∠HPS＝，

∴，

∴a＝1或a＝，

當a＝1時，OT＝2，∴R（2，4），

當a＝時，OT＝，∴R（，）

綜上，點R的坐標是（2，4），（，）．