Question

【題目】如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1B1C1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1、BC1分別交于點E、F．

（1）求證：△BCF≌△BA1D；

（2）當∠C=α度時，判定四邊形A1BCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形A1BCE是菱形．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質得到AB=BC，∠A=∠C，由旋轉的性質得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根據全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；

（2）由旋轉的性質得到∠A1=∠A，根據平角的定義得到∠DEC=180°﹣α，根據四邊形的內角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，證得四邊形A1BCE是平行四邊形，由于A1B=BC，即可得到四邊形A1BCE是菱形．

試題解析：（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1B1C1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF與△BA1D中，∵∠A1=∠C，A1B=BC，∠A1BD=∠CBF，∴△BCF≌△BA1D；

（2）解：四邊形A1BCE是菱形，∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1B1C1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∴∠DEC=180°﹣α，∵∠C=α，∴∠A1=α，∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四邊形A1BCE是平行四邊形，∴A1B=BC，∴四邊形A1BCE是菱形．