Question

【題目】如圖，矩形ABCD，AB=2，BC=10，點E為AD上一點，且AE=AB，點F從點E出發，向終點D運動，速度為1cm/s，以BF為斜邊在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF為鄰邊作BFHG，連接AG．設點F的運動時間為t秒．

（1）試說明：△ABG∽△EBF；

（2）當點H落在直線CD上時，求t 的值；

（3）點F從E運動到D的過程中，直接寫出HC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）HC最小值是

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等即可證明兩三角形相似；

（2）構建如圖2平面直角坐標系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．設AM交BG于K．首先證明△GFN≌△FHM，想辦法求出點H的坐標，構建方程即可解決問題；

（3）由（2）可知H（2t，4t），令x=2t，y=4t，消去t得到y．推出點H在直線y上運動，根據垂線段最短即可解決問題．

（1）如圖1．

∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴．

∵∠ABE=∠GBF=45°，∴∠ABG=∠EBF，∴△ABG∽△EBF．

（2）如圖2構建如圖平面直角坐標系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．設AM交BG于K．

∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG=FH，∠GNF=∠GFH=∠HMF=90°，∴∠GFN+∠HFM=90°，∠HFM+∠FHM=90°，∴∠GFN=∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN=FM，FN=HM．

∵△ABG∽△EBF，∴，∠AGB=∠EFB．

∵∠AKG=∠BKF，∴∠GAN=∠KBF=45°．

∵EF=t，∴AGt，∴AN=GN=FMt，∴AM=2t，HM=FN=2t，∴H（2t，4t），當點H在直線CD上時，2t=10，解得：t．

（3）由（2）可知H（2t，4t），令x=2t，y=4t，消去t得到y，∴點H在直線y上運動，如圖3，作CH垂直直線y垂足為H．

根據垂線段最短可知，此時CH的長最小，易知直線CH的解析式為y=﹣3x+30，由，解得：，∴H（8，6）．

∵C（10，0），∴CH，∴HC最小值是2．