Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數表達式；

（3）在題（2）的條件下，是否存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4？如果存在，請求出t的取值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，2），B（6，2）；（2）S＝t2；S＝t；S＝﹣t2+3t；（3）不存在，理由見解析；不存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4．

【解析】

（1）根菱形性質得出OA＝AB＝BC＝CO＝4，過A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；

（2）有三種情況：①當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，畫出圖形求出即可；

（3）分為以上三種情況，求出得到的方程的解，看看是否在所對應的范圍內，即可進行判斷．

解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點C的坐標是（4，0），

∴OA＝AB＝BC＝CO＝4，

過A作AD⊥OC于D，

∵∠AOC＝60°，

∴OD＝2，AD＝，

∴A（2，），B（6，）；

（2）直線l從y軸出發，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：①如圖1，

當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，

∵MN⊥OC，

∴ON＝t，

∴MN＝ONtan60°＝t，

∴S＝ONMN＝t2；

②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，如圖2，

S＝ONMN＝×t×＝t；

③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，如圖3，

設直線l與x軸交于H，

MN＝，

∴S＝MNOH＝（t）t＝；

（3）答：不存在，

理由是：假設存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4，

菱形AOCB的面積是4×2＝8,

①t2：8＝3：4，

解得：t＝±2，

∵0≤t≤2，

∴此時不符合題意舍去；

②t：8＝3：4，

解得：t＝6（舍去）；

③（）：8＝3：4，

此方程無解．

綜合上述，不存在某一時刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4．