Question

3．閱讀材料：
已知兩數的和為4，求這兩個數的積的最大值．
（1）解：設其中一個數為x，則另一個數為（4-x），令它們的積為y，則：
y=x（4-x）
=-x²+4x
=-（x-2）²+4．
∵-1＜0，
∴y_最大值=4．
問題解決：
（1）若一個矩形的周長為20cm，則它面積的最大值為25cm²．
（2）觀察下列兩個數的積，猜想哪兩個數 積最大，并用二次函數的知識說明理由：
99×1.98×2.97×3.96×4，…，50×50．
拓展應用：
（3）若m、n為任意實數，則代數式（m-2n）（8-m+2n）的最大值是16，此時，m和n之間的關系式是m=2n+4．

Answer 1

分析 （1）先根據題意列出函數關系式，再求其最值即可；
（2）列舉法可以得出50×50=2500最大，然后用二次函數的知識說明理由即可；
（3）設y=（m-2n）（8-m+2n）=（m-2n）[8-（m-2n）]，則y=-（m-2n）²+8（m-2n），根據二次函數的頂點公式即可得到結論．

解答 解：（1）∵設矩形的一邊長為xcm，則另一邊長為（10-x）cm，
∴其面積為s=x（10-x）=-x²+10x=-（x-5）²+25，
∴當x=5時，s_最大=25．
∴當矩形的長為5cm時，面積有最大值是25cm²．
故答案為：25；

（2）50×50=2500的乘積最大，
猜想驗證，∵兩個數的和為100，當兩個數分別為50時，乘積最大．
理由：設這兩個數的乘積為n，其中一個數為x，另一個數為m-x，由題意，得
n=x（m-x），
n=-x²+mx，
n=-（x-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{4}$；
∴a=-1＜0，
∴當x=$\frac{m}{2}$時，n_最大=$\frac{{m}^{4}}{4}$；

（3）設y=（m-2n）（8-m+2n）=（m-2n）[8-（m-2n）]，
則y=-（m-2n）²+8（m-2n），
當m-2n=-$\frac{8}{2（-1）}$=4時，
y_最大=$\frac{-64}{4×（-1）}$=16，
∴代數式（m-2n）（8-m+2n）的最大值是16，m和n之間的關系式是m=2n+4，
故答案為：16，m=2n+4．

點評 此題考查的是二次函數的最值問題，根據題意列出二次函數的解析式是解答此題的關鍵．