Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，交于點，且，的平分線交于點．

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝3．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質及可得該四邊形的對角線相等，即可證明四邊形是矩形；

（2）過點E作EG⊥BD于點G，由角平分線的性質得EG＝EA，證出Rt△ADE≌Rt△GDE，根據矩形的性質計算各邊的長度，在Rt△BEG中，由勾股定理得，代入數據計算即可求解．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC＝2AO，BD＝2BO．

∵AO＝BO，

∴AC＝BD．

∴平行四邊形ABCD為矩形．

（2）解：過點E作EG⊥BD于點G，

∵矩形ABCD，OC=5，

∴BD＝8.

在Rt△ABD中，

∵AB＝8，BD=10

∴

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴EA⊥AD于點A，

∵DE為∠ADB的平分線，

又EG⊥BD于點G，

∴EG＝EA，∠EGB＝90°．

在Rt△ADE和Rt△GDE中，

∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL）

∴AD=GD=6

在Rt△BEG中，

∵

∴

∴AE＝3．