Question

【題目】如圖，已知△ABC，以AC為底邊作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，連接BD．

（1）如圖1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的長；

（2）如圖1，若∠ADC=90°，證明：AB+BC=BD；

（3）如圖2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之間的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質和已知求出CD的長；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延長線于F，證明△AED≌△CFD，得到DE=DF，AE=CF，根據正方形的性質證明結論；

（3）延長BC至G，使CG=AB，證明△DAB≌△DCG，得到△DBG是等邊三角形，得到答案．

解：（1）∵∠ADC=90°，DA=DC，

∴∠CAD=45°，

∴∠ABC=2∠CAD=90°，又∠BAC=30°，

∴AC=2BC=2，

∴CD=AC×sin∠CAD=；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延長線于F，

∵∠ADC=90°，DA=DC，

∴∠CAD=45°，

∴∠ABC=2∠CAD=90°，

∴四邊形DEBF是矩形，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BAD=∠FCD，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD，

∴DE=DF，AE=CF，

∵四邊形DEBF是矩形，DE=DF，

∴四邊形DEBF是正方形，

∴BE=BF=BD，又AE=CF，

∴AB+BC=BE+BF=BD；

（3）BD=AB+BC．

延長BC至G，使CG=AB，

∵∠ADC=60°和等腰△ACD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ABC=2∠CAD=120°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BAD=∠GCD，

在△DAB和△DCG中，

，

∴△DAB≌△DCG，

∴DB=DG，∠CDG=∠ADB，又∠ADB+∠BDC=60°，

∠CDG+∠BDC=60°，

∴△DBG是等邊三角形，

∴BD=BG=AB+BC．