Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求點(diǎn)B到AC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴直線CP是⊙O的切線

（2）如圖，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN= CB= ，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP= ，

∴sin∠CAN= ，

∴ ，

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

設(shè)AF=x，則CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即點(diǎn)B到AC的距離為4．

【解析】（1）利用直徑所對的圓周角為直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判斷出∠ACP=90°即可；（2）利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．