Question

【題目】如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP(備注：當EF＝FP，∠EFP＝90°時，∠PEF＝∠FPE＝45°，反之當∠PEF＝∠FPE＝45°時，當EF＝FP)．

(1)在圖1中，請你通過觀察、測量、猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系．

(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，并證明你的猜想；

(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP、BQ．你認為(2)中所猜想的BQ與AP的結論還成立嗎？若成立，給出證明：若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)AB＝AP；AB⊥AP；(2)BQ＝AP；BQ⊥AP；證明見解析；(3)成立，證明見解析.

【解析】

（1）根據圖形就可以猜想出結論．

（2）要證BQ＝AP，可以轉化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要證明BQ⊥AP，可以證明∠QMA＝90°，只要證出∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°即可證出．

（3）類比（2）的證明就可以得到，結論仍成立．

(1)AB＝AP；AB⊥AP；

∵AC⊥BC且AC＝BC，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝(180°﹣∠ACB)＝45°，

又∵△ABC與△EFP全等，

同理可證∠PEF＝45°，

∴∠BAP＝45°+45°＝90°，

∴AB＝AP且AB⊥AP；

(2)BQ＝AP；BQ⊥AP．

證明：①由已知，得EF＝FP，EF⊥FP，

∴∠EPF＝45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．

∴CQ＝CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC＝AC，∠BCQ＝∠ACP＝90°，CQ＝CP，

∴△BCQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ＝AP．

②如圖，延長BQ交AP于點M．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠1＝∠2．

∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3＝90°，又∠3＝∠4，

∴∠2+∠4＝∠1+∠3＝90°．

∴∠QMA＝90°．

∴BQ⊥AP；

(3)成立．

①如圖，∵∠EPF＝45°，

∴∠CPQ＝45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．

∴CQ＝CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC＝AC，CQ＝CP，∠BCQ＝∠ACP＝90°，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．

∴BQ＝AP．

②如圖③，延長QB交AP于點N，則∠PBN＝∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠BQC＝∠APC．

∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，

又∵∠CBQ＝∠PBN，

∴∠APC+∠PBN＝90°．

∴∠PNB＝90°．

∴QB⊥AP．