Question

【題目】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA＝GE.

(1)判斷AG與⊙O的位置關系，并說明理由。

(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求線段OE的長．

Answer 1

【答案】（1） AG與⊙O相切，理由見解析（2） OE=．

【解析】試題分析：（1）直線與圓的位置關系有三種，相交，相切，相離，由圖形顯然AG與⊙O相切，再根據切線的判定定理，運用圓的性質和三角形的等邊對等角證明AG垂直于半徑OA即可.

（2）求線段OE的長，由題可知△OEF為直角三角形，所以考慮運用勾股定理求解.由圓的性質我們知道△ABC是直角三角形，根據相似三角形的性質可以求出線段EF、BF的長，從而在直角三角形OEF中勾股定理求解.

試題解析：（1）如圖 連接OA，∵OA＝OB，GA＝GE，∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE.

∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°.∴∠ABO＋∠BEF＝90°.又∵∠BEF＝∠GEA，∴∠GAE＝∠BEF.

∴∠BAO＋∠GAE＝90°. ∴OA⊥AG，即AG與⊙O相切．

（2）解：∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°.∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10. ∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，

∴△BEF∽△BCA.∴＝＝.∴EF＝1.8，BF＝2.4，

∴OF＝OB－BF＝5－2.4＝2.6. ∴OE＝＝.