Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC、BC，求線段BC所在直線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為 y=﹣x2+x+4；（2）直線BC的解析式為：y=﹣x+4；（3）存在，存在點P，使△ACP為等腰三角形，點P的坐標為：P1（3，0），P2（3，4+），P3（3，4﹣）．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數法求出直線BD的解析式；

（3）本問為存在型問題．若△ACP為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經過點A（﹣2，0），

∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，

解得：b=，

∴拋物線解析式為 y=﹣x2+x+4，

又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，

∴對稱軸方程為：x=3．

（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，

∴C（0，4）；

令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：

，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+4．

（3）存在，

理由：∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，

可設點P（3，t），

∵A（﹣2，0），C（0，4），

∴AC=2，AQ=，CQ=．

①當AQ=CQ時，

有=，

25+t2=t2﹣8t+16+9，

解得t=0，

∴P1（3，0）；

②當AC=AP時，

有2=，

∴t2=﹣5，此方程無實數根，

∴此時△ACP不能構成等腰三角形；

③當AC=CP時，

有2=，

整理得：t2﹣8t+5=0，

解得：t=4±，

∴點P坐標為：P2（3，4+），P3（3，4﹣）．

綜上所述，存在點P，使△ACP為等腰三角形，點P的坐標為：P1（3，0），P2（3，4+），P3（3，4﹣）．