Question

【題目】如圖1，點B在直線l上，過點B構建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，過點C作CD⊥直線l于點D，連接AD．

（1）小亮在研究這個圖形時發現，∠BAC＝∠BDC＝90°，點A，D應該在以BC為直徑的圓上，則∠ADB的度數為　 　°，將射線AD順時針旋轉90°交直線l于點E，可求出線段AD，BD，CD的數量關系為　 　；

（2）小亮將等腰直角三角形ABC繞點B在平面內旋轉，當旋轉到圖2位置時，線段AD，BD，CD的數量關系是否變化，請說明理由；

（3）在旋轉過程中，若CD長為1，當△ABD面積取得最大值時，請直接寫AD的長．

Answer 1

【答案】（1）45°，CD+DB＝AD；（2）線段AD，BD，CD的數量關系會變化，數量關系為BD﹣CD＝AD．證明見解析；（3）1+．

【解析】

（1）由∠BAC＝90°，且AB＝AC，可得∠ACB＝∠ABC＝45°，由∠BAC＝∠BDC＝90°，推出A、B、C、D四點共圓，所以∠ADB＝∠ACB＝45°；由題意知△EAB≌△DAC，所以BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，可知△ADE是等腰直角三角形，推出CD＋DB＝EB＋BD＝DE＝AD；

（2）如圖2，將AD繞點A順時針旋轉90°交直線l于點E．易證△EAB≌△DAC（SAS），則BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，所以△ADE是等腰直角三角形，則DE＝AD，由BDCD＝BDBE＝DE，推出BDCD＝AD；

（3）當點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的左側時，△ABD的面積最大，據此即可求解．

解：（1）①如圖，在圖1中．

∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∵∠BAC＝∠BDC＝90°，

∴A、B、C、D四點共圓，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

②由題意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°，

∴∠EAB＝∠DAC，

又AE＝AD，AB＝AC，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴BE＝CD，

∵AE＝AD，∠EAD＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝=AD，

∵CD+DB＝EB+BD＝DE，

∴CD+DB＝AD；

故答案為45°；CD+DB＝AD；

（2）線段AD，BD，CD的數量關系會變化，數量關系為BD﹣CD＝A．

理由如下：

如圖2，將AD繞點A順時針旋轉90°交直線l于點E．

則∠DAE＝∠CAB＝90°，

∴∠DAC＝∠EAB，

又AD＝AE，AC＝AB，

∴△EAB≌△DAC（SAS），

∴BE＝CD，

∵AE＝AD，∠EAD＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝=AD，

∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE，

∴BD﹣CD＝AD；

（3）由（2）知，△CDA≌△BEA，

∴∠CDA＝∠AEB，

∵∠DEA＝45°，

∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，

∴∠CDA＝∠AEB＝135°，

∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°，

∴A、B、C、D四點共圓，

于是作A、B、C、D外接圓⊙O，如圖3．

當點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的左側時，△ABD的面積最大．

作DG⊥AB，則DG平分∠ADB，DB＝DA，在DA上截取一點H，使得CD＝DH＝1，

∵∠ADB＝∠ACB＝45°，

∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°，

∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，

∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°，

∴∠HCB＝∠HBC，

∴HB＝CH＝=，

∴AD＝BD＝DH+BH＝1+．