Question

（2004•山西）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于點A和點B，且點O₁在⊙O₂上，過點A的直線CD分別與⊙O₁、⊙O₂交于點C、D，過點B的直線EF分別與⊙O₁、⊙O₂交于點E、F，⊙O₂的弦O₁D交AB于P．
求證：（1）CE∥DF；
（2）O₁A²=O₁P•O₁D．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明CE∥DF，根據平行線的判定，證明同旁內角互補即可，可以借助圓的內接四邊形角與角的關系；
（2）欲證O₁A²=O₁P•O₁D，可證△AO₁P∽△DO₁A得出．
解答：證明：（1）∵四邊形ABEC是⊙O₁的內接四邊形，
∴∠ABE+∠C=180°．
又四邊形ABFD是⊙O₂的內接四邊形，
∴∠ABE=∠ADF．
∴∠C+∠ADF=180°．
∴CE∥DF；

（2）連接O₁B，則O₁A=O₁B．
∴∠O₁AB=∠O₁BA．
又∵∠O₁BA=∠O₁DA，
∴∠O₁AP=∠O₁DA．
又∵∠AO₁P=∠DO₁A，
∴△AO₁P∽△DO₁A．
∴．
∴O₁A²=O₁D•O₁P．
點評：考查了平行線的判定，圓的內接四邊形的性質，圓周角定理．
能夠把線段乘積的形式轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出．