Question

【題目】同學們，在初一學習正多邊形和圓這節課時，我們就學習過四邊形的內角和等于360°．下面我們就在四邊形中來研究幾個問題：

(1)問題背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數量關系．

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是______；

(2)探索延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍成立，并說明理由；

(3)實際應用：

如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(點O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/時的速度前進，同時，艦艇乙沿北偏西50°的方向以60海里/時的速度前進，2小時后，指揮中心觀察到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

【答案】(1)EF＝BE+DF；(2)結論EF＝BE+DF仍然成立；(3)此時兩艦艇之間的距離是210海里．

【解析】

(1)延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;

(2)延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題

(3)連接EF,延長AE、BF相交于點C,然后與(2)同理可證.

解：(1)EF＝BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

故答案為 EF＝BE+DF．

(2)結論EF＝BE+DF仍然成立；

理由：延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，如圖2，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

(3)如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，∠EOF＝70°，

∴∠EOF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°，

∴符合探索延伸中的條件，

∴結論EF＝AE+BF成立，

即EF＝2×(45+60)＝210(海里)．

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．