Question

【題目】我們知道三角形任意兩條中線的交點是三角形的重心．重心有如下性質：重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍，請利用該性質解決問題：

（1）如圖1，在中，、是中線，于點，若，，則 ， ；

（2）如圖1，在中，，，，、是中線，于點，猜想、、三者之間的關系并證明；

（3）如圖2，在中，點，，分別是，，的中點，，，．求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）a2+b2=5c2；（3）AF=4．

【解析】

（1）由三角形的重心定理得出BP=2EP=2，AP=2FP，得出EP=1，由直角三角形的性質得出AP=BP=2，即可得出FP=AP=
（2）設PF=m，PE=n，由==，得到AP=2m，PB=2n，再由勾股定理即可得出結論；
（3）連接AC、EC，由平行四邊形的性質得出AD=BC，AD∥BC，證明四邊形AFCE是平行四邊形，得出AF=CE，由平行線得出△AEQ∽△CBQ，得出===，設AQ=a，EQ=b，則CQ=2a，BQ=2b，證明EG是△ACD的中位線，由三角形中位線定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得得出方程，求出a2=，得出BQ2=4b2=，b2=，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出AF的長．

解：（1）∵在△ABC中，AF、BE是中線，
∴BP=2EP=2，AP=2FP，
∴EP=1，
∵AF⊥BE，∠FAB=30°，

故答案為：1，
（2）a2+b2=5c2；理由如下：
連接EF，如圖1所示：

∵AF，BE是△ABC的中線，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，且EF=AB=c，
∴==，，
設PF=m，PE=n，
∴AP=2m，PB=2n，
在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2=c2，即4m2+4n2=c2，
在Rt△APE中，（2m）2+n2=（b）2，即4m2+n2=b2，
在Rt△FPB中，m2+（2n）2=（a）2，即m2+4n2=a2，
∴5m2+5n2=（a2+b2）=c2，
∴a2+b2=5c2；
（3）連接AC、EC，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵點E，F分別是AD，BC，CD的中點，
∴AE=CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴△AEQ∽△CBQ，
∴===，
設AQ=a，EQ=b，則CQ=2a，BQ=2b，
∵點E，G分別是AD，CD的中點，
∴EG是△ACD的中位線，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：AB2-AQ2=BC2-CQ2，
即9-a2=（2）2-4a2，
∴3a2=11，
∴a2=，
∴BQ2=4b2=（2）2-4×=，
∴b2=×=，
在Rt△EQC中，CE2=EQ2+CQ2=b2+4a2=16，
∴CE=4，
∴AF=4．