Question

【題目】在平面直角坐標系，直線y=2x+2交x軸于A，交y軸于 D，

（1）直接寫直線y=2x+2與坐標軸所圍成的圖形的面積

（2）以AD為邊作正方形ABCD，連接AD，P是線段BD上（不與B，D重合）的一點，在BD上截取PG=，過G作GF垂直BD，交BC于F，連接AP．

問：AP與PF有怎樣的數量關系和位置關系？并說明理由；

（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，試判斷線段PD，PG，BG之間有何關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）AP=PF且AP⊥PF，理由見解析；（3）PD2+BG2=PG2，理由見解析

【解析】

（1）先根據一次函數解析式求出A,D的坐標，根據三角形的面積公式即可求解；

（2）過點A作AH⊥DB，先計算出AD=，根據正方形的性質得到BD=，AH=DH=BD=，由PG=，得到DP+BG=，則PH=BG,可證得Rt△APH≌Rt△PFG，即可得到AP=PF且AP⊥PF；

（3）把△AGB繞點A點逆時針旋轉90°得到△AMD，可得∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG, ∠MAD=∠BAG,AM=AG,則∠MDP=90°，根據勾股定理有DP2+BG2=PM2,由∠PAG=45°，可得∠DAP+∠BAG=45°，即∠MAP=45°，易證得△AMP≌△AGP，得到MP=PG,即可DP2+BG2=PM2．

（1）∵直線y=2x+2交x軸于A，交y軸于 D，

令x=0，解得y=2，∴D（0，2）

令y=0，解得x=-1，∴A（-1，0）

∴AO=1，DO=2，

∴直線y=2x+2與坐標軸所圍成的圖形△AOD=×1×2=1；

（2）AP=PF且AP⊥PF，理由如下：

過點A作AH⊥DB，如圖，

∵A（-1，0），D（0，2）

∴AD===AB，

∵四邊形ABCD是正方形

∴BD==，

∴AH=DH=BD=，

而PG=，

∴DP+BG=，

而DH=DP+PH=

∴PH=BG,

∵∠GBF=45°

∴BG=GF=HP

∴Rt△APH≌Rt△PFG，

∴AP=PF, ∠PAH=∠PFG

∴∠APH+∠GPF=90°即AP⊥PF；

（3）PD2+BG2=PG2，理由如下：

如圖，把△AGB繞點A點逆時針旋轉90°得到△AMD，連接MP，

∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG, ∠MAD=∠BAG,AM=AG,

∴∠MDP=90°，

∴DP2+BG2=PM2,

又∵∠PAG=45°，

∴∠DAP+∠BAG=45°，

∴∠MAD+∠DAP =45°，即∠MAP=45°，

而AM=AG，

∴△AMP≌△AGP，

∴MP=PG,

∴PD2+BG2=PG2