Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，）．直線y=kx過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．
（1）求拋物線y=x²+bx+c與直線y=kx的解析式；
（2）設點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作 y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設△PMN的周長為l，點P的橫坐標為x，求l與x的函數關系式，并求出l的最大值．

Answer 1

解：（1）∵y=x²+bx+c經過點A（2，0）和B（0，）
∴由此得 ，
解得．
∴拋物線的解析式是y=x²-x+，
∵直線y=kx-經過點A（2，0）
∴2k-=0，
解得：k=，
∴直線的解析式是 y=x-，

（2）設P的坐標是（x，x²-x+），則M的坐標是（x，x-）
∴PM=（x²-x+）-（x-）=-x2-x+4，
解方程 得：，，
∵點D在第三象限，則點D的坐標是（-8，-7），由y=x-得點C的坐標是（0，-），
∴CE=--（-7）=6，
由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即-x²-x+4=6
解這個方程得：x₁=-2，x₂=-4，
符合-8＜x＜2，
當x=-2時，y=-×（-2）²-×（-2）+=3，
當x=-4時，y=-×（-4）²-×（-4）+=，
因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點P的坐標是（-2，3）和（-4，）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=
∴△CDE的周長是24，
∵PM∥y軸，
∵∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴=，即=，
化簡整理得：l與x的函數關系式是：l=-x²-x+，
l=-x²-x+=-（x+3）²+15，
∵-＜0，
∴l有最大值，
當x=-3時，l的最大值是15．
分析：（1）將A，B兩點分別代入y=x²+bx+c進而求出解析式即可；
（2）首先假設出P，M點的坐標，進而得出PM的長，將兩函數聯立得出D點坐標，進而得出CE的長，利用平行四邊形的性質得出PM=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的長，進而根據△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出l與x的函數關系，再利用配方法求出二次函數最值即可．
點評：此題主要考查了二次函數的最值求法以及待定系數法求二次函數解析式和函數交點求法以及平行四邊形的性質等知識，利用數形結合得出PM=CE進而得出等式是解題關鍵．