Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，、為平面內(nèi)不重合的兩個(gè)點(diǎn)，若到、兩點(diǎn)的距離相等，則稱點(diǎn)是線段的“似中點(diǎn)”．

(1)已知，， 在點(diǎn)、、、中，線段的“似中點(diǎn)”是點(diǎn) ．

(2)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

①若點(diǎn)是線段的“似中點(diǎn)”，且在坐標(biāo)軸．上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若的半徑為2，圓心為，若上存在線段的“似中點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）D，F；（2）①(1，0)和(0，)；②-3≤t≤5．

【解析】

（1）分別求出點(diǎn)A，B與點(diǎn)C，D，E，F的距離，再根據(jù)“似中點(diǎn)”的定義，進(jìn)行判斷即可；

（2）①由題意得：點(diǎn)H為MN的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，畫出圖形，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解；②設(shè)點(diǎn)P到H1H2的距離為h，則當(dāng)h≤2時(shí)，上存在線段的“似中點(diǎn)”， h=，進(jìn)而即可求出答案．

（1）∵，，、、、，

∴,

,

,

,

∴，,

∴線段的“似中點(diǎn)”是點(diǎn)D，F．

故答案是：D，F；

（2）①由題意可知：M(-1，0)，N(0，)，

∴∠NMO=60°，MN=，

∵點(diǎn)是線段的“似中點(diǎn)”，且在坐標(biāo)軸上，

∴點(diǎn)H為MN的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

∴∠MH1H2=30°，

∴H1M=2，

∴H1(1，0)，

∵OH2=OH1=，

∴H2(0，)，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1，0)和(0，)；

②若上存在線段的“似中點(diǎn)”，則與線段MN的垂直平分線H1H2有公共點(diǎn)．

設(shè)點(diǎn)P到H1H2的距離為h，則當(dāng)h≤2時(shí)，上存在線段的“似中點(diǎn)”，

∵∠H2H1O=30°，

∴h=H1P=，

∴≤2，解得：-3≤t≤5．