Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF的頂點G在菱形對角線AC上運動，角的兩邊分別交邊BC、CD于E、F．

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（1）如圖甲，當頂點G運動到與點A重合時，求證：EC+CF=BC；

（2）知識探究：

①如圖乙，當頂點G運動到AC的中點時，請直接寫出線段EC、CF與BC的數量關系（不需要寫出證明過程）；

②如圖丙，在頂點G運動的過程中，若，探究線段EC、CF與BC的數量關系；

（3）問題解決：如圖丙，已知菱形的邊長為8，BG=7，CF=，當＞2時，求EC的長度。

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Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①線段EC，CF與BC的數量關系為：CE＋CF＝BC.②CE＋CF＝BC（3）

【解析】分析：（1）利用包含60°角的菱形，證明△BAE≌△CAF，可求證.(2)由特殊到一般，證明△CAE′∽△CAE，從而可以得到EC、CF與BC的數量關系.(3) 連接BD與AC交于點H,利用三角函數BH ,AH,CH的長度，最后求BC長度.

詳解：

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB=BC，AB=AC，

∵∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，

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∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

,

∴△BAE≌△CAF，

∴BE＝CF，

∴EC＋CF＝EC＋BE＝BC，

即EC＋CF＝BC；

（2）知識探究：

①線段EC，CF與BC的數量關系為：CE＋CF＝BC.

②CE＋CF＝BC.

理由如下：

過點A作AE′∥EG，AF′∥GF，分別交BC、CD于E′、F′.

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類比（1）可得：E′C＋CF′＝BC，

∵AE′∥EG，∴△CAE′∽△CAE，

∴，∴CE＝CE′，

同理可得：CF＝CF′，

∴CE＋CF＝CE′＋CF′＝（CE′＋CF′）＝BC，

即CE＋CF＝BC；

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（3）連接BD與AC交于點H，如圖所示：

在Rt△ABH中，∵AB＝8，∠BAC＝60°，

∴BH＝ABsin60°＝8×＝，

AH＝CH=ABcos60°＝8×＝4，

∴GH＝＝＝1，

∴CG＝4－1＝3，

∴，

∴t＝（t＞2），

由（2）②得：CE＋CF＝BC，

∴CE＝BC －CF＝×8－＝.