Question

【題目】如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當(dāng)點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP＝CD，此時周長最小，根據(jù)CD＝4，求出α的度數(shù)即可．

解：如圖，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．

連接OC，OD，PE，PF．

∵點P與點C關(guān)于OA對稱，

∴OA垂直平分PC，

∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，

同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．

∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝4，

∴∠COD＝2α．

又∵△PEF的周長＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，

∴OC＝OD＝CD＝4，

∴△COD是等邊三角形，

∴2α＝60°，

∴α＝30°．

故答案為：30°