Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與坐標軸分別交于、、三點，其中，點在軸正半軸上，連接、．點從點出發，沿向點移動；同時點從點出發，沿軸向點移動，它們移動的速度都是每秒1個單位長度，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止移動，連接，設移動時間為．

（1）若時，與相似，求這個二次函數的表達式；

（2）若可以為直角三角形，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）根據題意，可求得點坐標為（，），當時，可分別知道，，此時有兩種情況，當時，根據對應邊成比例可以求得的長度，即可知點坐標，再利用待定系數法，即可求得此時的函數表達式；當時，根據比例關系求得，不符合題意，故舍去；

（2）若可以為直角三角形，可知，根據比例關系可求得的長，設出點的坐標（，），可知，所以拋物線的對稱軸，把點的坐標為（ ，）代入解析式，可知、之間的關系，消掉，即可求出的取值范圍．

解：（1）把代入，得，

∴（，），

∵（，），

∴，，

∴ ，

∵，

∴，，

當時，，即，

∴，點坐標為（，）．

把，；，分別代入，

解得：，，

∴．

當時，，

即，∴（不符合題意，故舍去）．

綜上，二次函數的表達式為．

（2）若可以為直角三角形，顯然，

∴，則，設，

即，解得：．

設（，），則，

設拋物線對稱軸為直線，

∵（，），∴ ①，

把 ，代入，得 ②，

把②代入①，且，

解得：．

故的取值范圍是．