Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點E，若D是AC的中點，連結DE．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若，，求⊙O的半徑長；

（3）在（2）的條件下，過點A作⊙O的另一條切線，切點為F，過點F作FG⊥BC，垂足為H，且交⊙O于G點，連結AO 交CF于點P．求線段FG的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）；

【解析】

（1）連接OE、OD，易證OD是△ABC的中位線，利用中位線的性質可證明△COD≌△EOD， 所以∠DEO=∠DCO =90°，從而可知DE是⊙O的切線；

（2）由切線長定理得：DC=DE=，由點M是AC的中點可知AC＝3，tan∠ABC＝ ，所以BC＝4，從而可知⊙O的半徑為2；

（3連結OF，由AC、AF都是⊙O的切線可知AO⊥CF，利用等面積可求得CF的長度，設OH為x，然后利用勾股定理可求得OH的長度，利用垂徑定理即可求得FG．

（1）證明：連結OE、OD，

∵D是AC的中點，O是BC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∴∠COD=∠ABC，∠EOD=∠OEB，

又∵OB=OE，∴∠OEB=∠ABC，

∴∠COD=∠EOD，

在△COD與△EOD中，

∴△COD≌△EOD（SAS），

∴∠DEO=∠DCO =90°，

∴DE是⊙O的切線．

（2）∵DC、DE分別是⊙O的切線，

∴，

∵D是AC的中點，

∴AC=2DC=3，

在Rt△ABC中，

∵，∴，

∴BC=4，

∴⊙O的半徑為2．

（3）連結OF，

∵AC、AF都是⊙O的切線，

∴AC=AF，AO平分∠CAF，

∴AO⊥CF，且PC=PF，

∵AC=3，OC=2，

∴由勾股定理可得：，

由三角形面積法可得：ACOC=AOCP，

∴CP=，∴CF=，

設OH=x，則CH=x+2，

由勾股定理可得：，

∴，

∴，∴，

在Rt△CFH中，

由勾股定理可得：，

∴由垂徑定理可得：．