Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）以AD為邊作正方形ADEF，使∠DAF=∠BAC，連接CF．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：BD=CF；

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上，且∠BAC=90°時．

①問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

②延長BA交CF于點G，連接GE，若AB=2，CD=BC，請求出GE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①成立，證明見解析；②GE＝2．

【解析】試題分析：（1）由SAS證明△DAB≌△FAC，得出對應邊相等即可；

（2）①由SAS證明△DAB≌△FAC，得出對應邊相等即可；

②過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，證出∠ADH=∠DEM，由AAS證明△ADH≌△DEM，得出EM=DH=6，DM=AH=2，得出CN=EM=6，EN=CM=6，證出△BCG是等腰直角三角形，得出CG=BC=4，求出GN=2，由勾股定理求出GE的長即可．

（1）證明：菱形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴BD=CF；

（2）解：①（1）中的結論仍然成立；理由如下：

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF

在△DAB與△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴BD=CF；

②過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如圖所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=AB=4，AH=BH=HC=2，

∴CD=BC=4，

∴DH=6，CF=BD=8，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH與△DEM中， ，

∴△ADH≌△DEM（AAS），

∴EM=DH=6，DM=AH=2，

∴CN=EM=6，EN=CM=6，

∵∠ABC=45°，

∴∠BGC=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=2，

∴GE===2．