Question

【題目】我們知道：三角形的三條角平分線交于一點，這個點稱為三角形的內心（三角形內切圓的圓心）．現在規定：如果四邊形的四個角的角平分線交于一點，我們把這個點也成為“四邊形的內心”．
（1）試舉出一個有內心的四邊形．
（2）如圖1，已知點O是四邊形ABCD的內心，求證：AB+CD=AD+BC．

（3）如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°．O是△ABC的內心．若直線DE截邊AC，BC于點D，E，且O仍然是四邊形ABED的內心．這樣的直線DE可畫多少條？請在圖2中畫出一條符合條件的直線DE，并簡單說明作法．

（4）問題（3）中，若AC=3，BC=4，滿足條件的一條直線DE∥AB，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：菱形

（2）解：作OE⊥AD與E，OF⊥AB與F，CG⊥BC與G，OH⊥CD與H，

∵∠AEO=∠AFO=90°

∴O是四邊形ABCD的內心

∴∠EAO=∠FAO

在Rt△AEO和Rt△AFO中，

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL）

∴AE=AF，

同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，

∴AE+DEBG+CG=AF+BF+CH+DH

即：AD+BC=AB+CD

（3）解：有無數條

作△ABC的內切圓圓O，切AC，BC于M、N，在弧MN上取一點F，作過F點作圓O的切線，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）解：作CG⊥AB與點G，

由勾股定理得：AB=

∴ =2.4

設△ABC的內切圓的半徑為r，則r= =1

∵DE∥AB

∴△CDE∽△CAB

∴ ∴

∴

【解析】（1）根據四邊形的每一條對角線平分一組對角，即可得答案。
（2）根據內心是各個角的平分線的交點，過交點O分別作四邊的垂線段，根據角平分線的性質及全等三角形的判定和性質，可證得結果。
（3）可畫無數條。
（4）根據勾股定理求得AB的長，根據面積相等求出CG的長，由三角形的內切圓半徑和三角形三邊關系式可求出r的長。根據相似三角形的性質，建立方程，求出DE的長。
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和三角形的內切圓與內心，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心才能得出正確答案．