Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．

（1）求證： ；

（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;(2)4.

【解析】試題分析：（1）本題利用兩角法判定三角形相似，利用相似三角形的性質得出比例式即可；(2)利用切線的性質和特殊角的三角函數值判斷出∠OBD=30°，進而得出∠BAC=30°，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半即可得出.

試題解析：

（1）證明：連接DE,

∵AE是直徑,∴∠ADE=90°.

∴∠ADE=∠ABC.

又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC. (3分)

∴. (4分)

（2）解：連接OD,

∵BD是⊙O的切線,

∴OD⊥BD

∴∠ODB=90°. (5分)

∵在Rt△OBD中，E是OB的中點，

∴DE= =BE=OE=OD, (6分)

∴sin∠OBD= .

∴∠OBD=30° (7分)

同理∠BAC=30°. (8分)

在Rt△ABC中,AC=2BC=2×2=4.(9分)