Question

【題目】如圖，直線y＝k1x(x≥0)與雙曲線y＝ (x＞0)相交于點P(2，4)．已知點A(4，0)，B(0，3)，連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點O移動到點P，得到△A′PB′.過點A′作A′C∥y軸交雙曲線于點C，連接CP.

(1)求k1與k2的值；

(2)求直線PC的解析式；

(3)直接寫出線段AB掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）k1＝2，k2＝8；（2）；（3）22

【解析】試題分析：（1）把點P（2，4）代入直線y=k1x，把點P（2，4）代入雙曲線y=，可得k1與k2的值；

（2）根據平移的性質，求得C（6，），再運用待定系數法，即可得到直線PC的表達式；

（3）延長A'C交x軸于D，過B'作B'E⊥y軸于E，根據△AOB≌△A'PB'，可得線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積，據此可得線段AB掃過的面積．

試題解析：（1）把點P（2，4）代入直線y=k1x，可得4=2k1，

∴k1=2，

把點P（2，4）代入雙曲線y=，可得k2=2×4=8；

（2）∵A（4，0），B（0，3），

∴AO=4，BO=3，

如圖，延長A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P=AO=4，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點C的橫坐標為2+4=6，

當x=6時，y==，即C（6，），

設直線PC的解析式為y=kx+b，

把P（2，4），C（6，）代入可得

，解得，

∴直線PC的表達式為y=﹣x+；

（3）如圖，延長A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P∥AO，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點A'的縱坐標為4，即A'D=4，

如圖，過B'作B'E⊥y軸于E，

∵PB'∥y軸，P（2，4），

∴點B'的橫坐標為2，即B'E=2，

又∵△AOB≌△A'PB'，

∴線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．