Question

【題目】探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品--圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，

（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，∠A=40°，則∠ABX+∠ACX等于多少度；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①50°；②85°；③63°．

【解析】

（1）連接AD并延長至點F，根據外角的性質即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①根據（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根據∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度數；

②先根據（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度數；

③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，設∠A為x°，即可列得（133-x）+x=70，求出x的值即可.

（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，

根據外角的性質，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴，，

∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,

=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,

=45°+40°,

=85°；

③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=70°，

∴設∠A為x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x°

∴（133-x）+x=70，

∴13.3-x+x=70，

解得x=63，

即∠A的度數為63°.