Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，把與軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖像稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），交軸于點(diǎn)．拋物線與是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為．

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)的值最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于其對稱軸的右側(cè)．若與相似，求其“共根拋物線”的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)；（3）或或或

【解析】

（1）由“共根拋物線”定義可知拋物線經(jīng)過拋物線與x軸交點(diǎn)，故根據(jù)拋物線可求AB兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而由交點(diǎn)式設(shè)為，將點(diǎn)代入，即可求出解；

（2）由拋物線對稱性可知PA=PB，∴，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知當(dāng)當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的值最大，而P點(diǎn)在對稱軸為上，由此求出點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）根據(jù)點(diǎn)ABC坐標(biāo)可證明△ABC為直角三角形，與相似，分兩種情況討論：當(dāng)、時，分別利用對應(yīng)邊成比例求解即可．

解：（1）當(dāng)時，，解得，．

∴、、．

由題意得，設(shè)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，

又∵經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

∴．

∴對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）∵、與軸交點(diǎn)均為、，

∴、的對稱軸都是直線．

∴點(diǎn)在直線上．

∴．

如圖1，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的值最大，

此時點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)．

由、可求得，直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．

∴點(diǎn)．

（3）由題意可得，，，，

因?yàn)樵?/span>中，，故．

由，得頂點(diǎn)．

因?yàn)?/span>的頂點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在上，

∴不可能是直角．

第一種情況：當(dāng)時，

①如圖2，當(dāng)時，則得．

設(shè)，則，

∴．

由得，解得．

∵時，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，不符合題意，

∴舍去，此時．

②如圖3，當(dāng)時，則得．

設(shè)，則．

∴．

由得，解得（舍），此時．

第二種情況：當(dāng)時，

①如圖4，當(dāng)時，則得．

過Q作交對稱軸于點(diǎn)M，∴．

∴．由圖2可知，

∴．

∴，又，代入得．

∵點(diǎn)，

∴點(diǎn)．

②如圖5，當(dāng)時，則．

過Q作交對稱軸于點(diǎn)M，

∴，則．

由圖3可知，，

∴，，

∴．

又，代入得．

∵點(diǎn)，

∴點(diǎn)，

綜上所述，或或或．