Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為∠ACB平分線CD上一動點（不與點C重合），點E關于直線BC的對稱點為F，連接AE并延長交CB延長線于點H，連接FB并延長交直線AH于點G．

（1）求證：AE＝BF．

（2）用等式表示線段FG，EG與CE的數量關系，并證明．

（3）連接GC，用等式表示線段GE，GC與GF的數量關系是　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）結論：FG2+EG2＝2EC2；（3）結論：GE+GF＝CG．

【解析】

（1）連結CF，證明△ACE≌△BCF（SAS）即可解決問題；

（2）結論：FG2+EG2=2EC2，連結EF，通過互補的角和四邊形內角和證明∠EGF=90°，再由勾股定理即可解決問題；

（3）結論：GE+GF=CG，證明Rt△CNE≌Rt△CMF（HL），Rt△GCN≌Rt△GCM（HL）即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，連接CF，

∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCE=45°，

∵E，F關于CB對稱，

∴∠BCF=∠BCE=45°，CE=CF，

∴∠ACE=∠BCF，

在△ACE和△BCF中,

，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF；

（2）解：結論：FG2+EG2=2EC2，

理由：連接EF，CF，

∵△ACE≌△BCF，

∴∠AEC=∠BFC，

∵∠AEC+∠CEG=180°，

∴∠CEG+∠CFG=180°，

∴∠ECF+∠EGF=180°，

∵∠ECB=∠BCF=45°，

∴∠ECF=∠EGF=90°，

∴FG2+EG2=EF2，EF2＝CE2+CF2，

∵CE=CF，

∴FG2+EG2=2CE2，

（3）如圖3中，結論：GE+GF=CG，

理由：連接CG，CF，作CM⊥BF于F，CN⊥AG于N，

∵△ACE≌△BCF，

∴CN=CM（全等三角形對應邊上的高相等），

∵∠CNE=∠CMF=90°，CE=CF，

∴Rt△CNE≌Rt△CMF（HL），

∴EN=FM，

∵∠CNG=∠CMG=90°，CG=CG，

∴Rt△GCN≌Rt△GCM（HL），

∴GN=GM，∠CGN=∠CGM=45°，

∴CG=GN，

∴GE+GF=GNEN+GM+MF=2GN=CG．