Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過A（3，0），B（0，1），C（2，2）三點.

（1）求二次函數的解析式；

（2）設點D（，m ）在二次函數的圖象上，將∠ACB繞點C按順時針方向旋轉至∠FCE，使得射線CE與軸的正半軸交于點E，且經過點D，射線CF與線段OA交于點F．求證：BE＝2FO；

（3）是否存在點H（n，2），使得點A、D、H構成的△ADH是直角三角形？若存在，有幾個符合條件的點H？（直接回答，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為；

（2）證明見解析；

（3）存在4個符合條件的點H，使得點A、D、H構成的△ADH是直角三角形．

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）證明Rt△NBC≌Rt△MAC和△ACF≌△BCE， 得出AF=BE，然后利用一次函數求出BE＝2FO；（3）最后直接求出符合條件△ADH是直角三角形的點H．

（1）解：把A（3，0），B（0，1），C（2，2）代入，

得 ∴

∴二次函數的解析式為．

（2）過點C作CM⊥OA于點M，CN⊥y軸于點N，

∵A（3，0），B（0，1），C（2，2），

∴CM= CN=2，CA=CB=，

∴Rt△NBC≌Rt△MAC，

∴∠CAF=∠CBE，

∵將∠ACB繞點C按順時針方向旋轉至∠FCE，

∴∠FCE=∠ACB，

∴∠FCE-∠BCF=∠ACB-∠BCF，

即∠ACF=∠BCE，

又∵CB=CA，∴△ACF≌△BCE，

∴AF=BE．

∵二次函數的解析式為，

當時， ，∴

設直線CD： ，把C（2，2）、代入得

， 解得，

∴直線CD： ．

∴E（0，3），BE=2， ∴AF=BE=2 ，

∴FO=OA-AF=1．

∴BE＝2FO．

（3）存在4個符合條件的點H，使得點A、D、H構成的△ADH是直角三角形．

“點睛”本題考查了二次函數的綜合題，熟練掌握運用待定系數法求函數解析式；熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征，根據題意利用一次函數求出BE＝2FO是解答此題的關鍵．