Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB=25，BC=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=．

【解析】（1）直接利用圓周角定理以及結合切線的判定方法得出DE是⊙O的切線；

（2）首先過點C作CG⊥DE，垂足為G，則四邊形ODGC為正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．

（1）如圖，連接OD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=45°，

∴∠AOD=90°，

∵DE∥AC，

∴∠ODE=∠AOD=90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，

∴AC==5，

∴OD=，

過點C作CG⊥DE，垂足為G，

則四邊形ODGC為正方形，

∴DG=CG=OD=，

∵DE∥AC，

∴∠CEG=∠ACB，

∴tan∠CEG=tan∠ACB，

∴，即，

解得：GE=，

∴DE=DG+GE=．