Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，E為對角線BD上的動點，過點E作FG⊥AE，FG交射線CD于F，交射線CB于G．

（1）求證：EF=EG

（2）求證：

（3）若AB=4，當∠GEB=22.5°，直接寫出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如下圖，先證△ABE≌△CBE，得出∠1=∠3，再通過角度轉化，得出∠2=∠3和∠4=∠5，從而得出EF=EC=EG；

（2）如下圖，先得出△GEH∽△GFC，根據相似三角形的線段成比例可求證；

（3）存在2種情況，一種是點F在線段CD上，另一種是點F在射線CD上，且在點D的上方，分別利用相似三角形和勾股定理可求得．

（1）證明：連接CE

∵四邊形ABCD為正方形

∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°

∠ABE=∠CBE=45°

又∵BE=BE

∴△ABE≌△CBE(SAS)

∴∠1=∠3

又∵FG⊥AE

∴∠AEM=90°

∴∠1+∠AME=90°

又∵∠2+∠BMG=∠ABC=90° ∠AME=∠BMG

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴EG=EC

又∵∠3+∠4=90° ∠2+∠5=90°

∴∠4=∠5

∴EF=EC

∴EF=EG

（2）作EH⊥BC交BC于H

則∠GHE=90°=∠BCD

又∵∠2=∠2

∴△GEH∽△GFC

∴

∴FC=2EH=2×

（3）情況一：點F在線段CD上，圖形如下

∵∠GEB=22.5°，BD是正方形ABCD的對角線

∴∠DBC=45°，∠BGE=22.5°

∴GB=BE

設BH=x，則HC=4－x

∴GB=HC－BH=4－2x=BE

∵CF=

∴CF=

∴EH=

在Rt△EBH中，

解得：x=4或x=4(舍)

∴CF=8

情況二：點F在射線CD上，且在點D的上方，圖形如下，連接EC，過點E作EH⊥CD于點H

同理可得FC=

綜上得；CF=．