Question

【題目】如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，將△APB繞點B逆時針旋轉一定角度后，可得到△CQB．
（1）求點P與點Q之間的距離；
（2）求∠APB的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接PQ，

由旋轉性質有：

BQ=BP=8，QC=PA=6，∠QBC=∠ABP，∠BQC=∠BPA，

∴∠QBC+∠PBC=∠ABP+∠PBC

即∠QBP=∠ABC，

∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠QBP=60°，

∴△BPQ是正三角形，

∴PQ=BP=BQ=8

（2）解：在△PQC中，PQ=8，QC=6，PC=10

∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，

∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°

【解析】（1）由旋轉的性質可以證明△PBQ是等邊三角形，即可解決問題．（2）利用勾股定理的逆定理證明∠PQC=90°，由∠BQC=∠APB，即可解決問題．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質和勾股定理的逆定理是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．