Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過點O作OD⊥CB，垂足為點D，延長DO交⊙O于點E，過點E作PE⊥AB，垂足為點P，作射線DP交CA的延長線于F點，連接EF，

（1）求證：OD＝OP；（2）求證：FE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題（2）證明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）連接AE，BE，證出△APE≌△AFE即可得出結論．

試題解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90° ∠EOP=∠BOD

OE=OB

∴△OPE≌△ODB

∴OD="OP"

（2）連接EA，EB

∴∠1=∠EBC

∵AB是直徑

∴∠AEB=∠C=90°

∴∠2+∠3=90°

∵∠3=∠DEB

∵∠BDE=90°

∴∠EBC+∠DEB=90°

∴∠2=∠EBC=∠1

∵∠C=90° ∠BDE=90°

∴CF∥OE

∴∠ODP=∠AFP

∵OD=OP

∴∠ODP=∠OPD

∵∠OPD=∠APF

∴∠AFP=∠APF

∴AF=AP 又AE=AE

∴△APE≌△AFE

∴∠AFE=∠APE=90°

∴∠FED=90°

∴FE是⊙O的切線