Question

【題目】如圖，拋物線y1=a（x+2）2+m過原點，與拋物線y2= （x﹣3）2+n交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．下列結論：①兩條拋物線的對稱軸距離為5；②x=0時，y2=5；③當x＞3時，y1﹣y2＞0；④y軸是線段BC的中垂線．正確結論是（填寫正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵拋物線y1=a（x+2）2+m與拋物線y2= （x﹣3）2+n的對稱軸分別為x=﹣2，x=3， ∴兩條拋物線的對稱軸距離為5，故①正確；
∵y1=a（x+2）2+m經過點A（1，3）與原點，
∴ ，
解得 ，
∴y1= （x+2）2﹣ ，
∵y2= （x﹣3）2+n經過點A（1，3），
∴ （1﹣3）2+n=3，
解得n=1，
∴y2= （x﹣3）2+1，
當x=0時，y= （0﹣3）2+1=5.5，故②錯誤；
由圖象得，當x＞1時，y1＞y2 ， 故③正確；
∵過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C，
∴令y=3，則 （x+2）2﹣ =3，
整理得，（x+2）2=9，
解得x1=﹣5，x2=1，
∴AB=1﹣（﹣5）=6，
∴A（1，3），B（﹣5，3）；
令y=3，則 （x﹣3）2+1=3，
整理得，（x﹣3）2=4，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5﹣1=4，
∴BC=10，
∴y軸是線段BC的中垂線，故④正確．
所以答案是①③④．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．