Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、BC為一邊向外作正方形ABFG、BCED，連接AD、CF，AD與CF交于點M，AB與CF交于點H.

（1）求證：△ABD≌△FBC；

（2）已知AD=6，求四邊形AFDC的面積;

（3）在△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，當∠ACB≠90°時，c≠a+b.在任意△ABC中，c=a+b+k.就a=3，b=2的情形，探究k的取值范圍（只需寫出你得到的結論即可）.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）18；（3）-12<k<12.

【解析】

（1）根據四邊形ABFG、BCED是正方形得到兩對邊相等，一對直角相等，根據圖形利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS即可得到三角形全等；
（2）連接FD，由（1）的三角形全等，得到AD=FC，∠BAD=∠BFC，利用等式的性質及垂直定義得到AD與CF垂直，四邊形AFDC面積=三角形ACD面積+三角形ACF面積+三角形DMF面積-三角形ACM面積，求出即可；
（3）根據a，b及c為三角形三邊長，利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列出關于c的不等式，將a與b的值代入求出c的范圍，進而確定出c2的范圍，即a2+b2+k的范圍，即可求出k的范圍．

（1）∵四邊形ABFG、BCED是正方形，

∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，

∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，

即∠ABD=∠CBF，

在△ABD和△FBC中，

，

∴△ABD≌△FBC（SAS）；

（2）連接FD，設CF與AB交于點N，

∵△ABD≌△FBC，

∴AD=FC，∠BAD=∠BFC，

∴∠AMF=180°﹣∠BAD﹣∠CNA=180°﹣（∠BFC+∠BNF）=180°﹣90°=90°，

∴AD⊥CF，

∵AD=6，

∴FC=AD=6，

∴S四邊形AFDC=S△ACD+S△ACF+S△DMF﹣S△ACM，

=ADCM+CFAM+DMFM﹣AMCM，

=3CM+3AM+（6﹣AM）（6﹣CM）﹣AMCM，

=18；

（3）∵在△ABC中，設BC=a=3，AC=b=2，AB=c，

∴a﹣b＜c＜a+b，即1＜c＜5，

∴1＜c2＜25，即1＜a2+b2+k=13+k＜25，

解得：﹣12＜k＜12．