Question

【題目】如圖，⊙O中，FG、AC是直徑，AB是弦，FG⊥AB，垂足為點P，過點C的直線交AB的延長線于點D，交GF的延長線于點E，已知AB=4，⊙O的半徑為 ．
（1）分別求出線段AP、CB的長；
（2）如果OE=5，求證：DE是⊙O的切線；
（3）如果tan∠E= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC為直徑，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2 ，AB=4，

∴BC= =2，

∵直徑FG⊥AB，

∴AP=BP= AB=2

（2）證明∵AP=BP，AO=OC

∴OP為△ABC的中位線，

∴OP= BC=1，

∴ = ，

而 = = ，

∴ = ，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB= = ，

∴BD=3，

∴CD= = ，

∵BC∥EP，

∴ = ，即 = ，

∴DE=

【解析】（1）根據圓周角定理由AC為直徑得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據勾股定理可計算出BC=2，再根據垂徑定理由直徑FG⊥AB得到AP=BP= AB=2；（2）易得OP為△ABC的中位線，則OP= BC=1，再計算出 = = ，根據相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根據相似的性質得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；（3）根據平行線的性質由BC∥EP得到∠DCB=∠E，則tan∠DCB=tan∠E= ，在Rt△BCD中，根據正切的定義計算出BD=3，根據勾股定理計算出CD= ，然后根據平行線分線段成比例定理得 = ，再利用比例性質可計算出DE= ．