Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于、，交軸于點，點拋物線的頂點，對稱軸與軸交于點．

⑴.求拋物線的解析式；

⑵.如圖1，連接,點是線段上方拋物線上的一動點，于點；過點作軸于點,交于點.點是軸上一動點，當 取最大值時．

①.求的最小值；

②.如圖2，點是軸上一動點,請直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）直接利用待定系數法，把A,B兩點代入解析式即可求出．

（2）利用配方法求出M點，求出直線AM的解析式，從而可以得出經過點E且與直線AM平行的直線 解析式，再根據當直線與拋物線只有一個交點時，EF取最大值，利用根的判別式可求出E點和D點的坐標，再根據當P,B,D三點共線時，PD+PC有最小值，利用勾股定理即可求出．

（3）利用添加輔助線，對線段OQ進行轉化，再根據三點共線求出最小值．

1）將A（-3,0）、B（1,0）代入二次函數得，

解之得，∴二次函數的解析式為；

（2）①將二次函數配方得，

∴M（-1,4）

設直線AM的解析式為，將代入直線可得，

解得，

∴直線AM的解析式為，

過E作直線，平行于直線AM，且解析式為，

∵E在直線AM上方的拋物線上，

∴；

當直線與AM距離最大時，EF取得最大值，

∴當與拋物線只有一個交點時，EF取得最大值，

將直線的解析式代入拋物線得，

由題意可得，△=，經計算得，將代入二次方程可得，

，

∴，即E點的橫坐標為-2，將代入拋物線得，

∴，

又∵⊥軸，

∴，將代入直線AM，

∴，

∵，

∴B、C兩點關于軸對稱，

∴，

∴，當P、B、D三點不共線時，

當P、B、D三點共線時，，

∴當P、B、D三點共線時PC+PD取得最小值，

在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=，

∴的最小值為；

②過Q作直線平行于軸，并在軸右側該直線上取一點G，使得，

QG=，

∴，當三點共線時，

DQ+QG取得最小值，設Q（0，y），則，

∵QG∥軸，

∴，

∴，

∴的最小值為．

【點晴】

本題主要考查了二次函數綜合應用，利用待定系數求解析式，根的判別式求點的坐標，利用三點共線求最值的問題．