Question

（2012•楊浦區二模）如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．
（1）請完成如下操作：
①以點O為原點、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；
②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．
（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：
①寫出點的坐標：C

（6，2）

、D

D（2，0）

；
②⊙D的半徑=

2

5

；
（3）求∠ACO的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據點的坐標的表示，C的坐標即可得到，首先作出弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點就是D，即可確定點D的坐標；
（2）①根據（1）中的平面直角坐標系直接填空；
②在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；
（3）連接AC、OC．過C作CH⊥AO于點H，過點A作AM⊥CO于點M．利用三角形AOC的面積等積轉換求得AM的長度，然后在
Rt△AMC中利用正弦函數的定義求得∠ACO的正弦值．

解答：解：（1）直角坐標系、點D的在該坐標系中的位置如圖所示：

（2）解：①根據圖示知，C（6，2），D（2，0），
故答案為：（6，2），（2，0）；

②解：在直角△AOD中，根據勾股定理知⊙D的半徑AD=

OA2+OD2

=

42+22

=2

5

，
故答案為：2

5

；

（3）解：連接AC、OC．過C作CH⊥AO于點H，過點A作AM⊥CO于點M．
則

1

2

OA•CH=

1

2

OC•AM，即

1

2

×4×6=

1

2

×2

10

•AM，
解得，AM=

6 10

5

；
在Rt△AMC中，sin∠ACO=

AM

AC

=

6 10 5

2 10

=

3

5

．

點評：本題考查了圓的綜合題．涉及的知識有：坐標與圖形性質，垂徑定理，勾股定理，利用了數形結合的思想，根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．