Question

【題目】如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1，那么此二次函數(shù)可表示為y＝x2＋px＋q，我們稱[p，q]為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y＝x2＋2x＋3的特征數(shù)是[2，3]．

(1)若一個函數(shù)的特征數(shù)為[－2，1]，求此函數(shù)圖象的頂點坐標；

(2)探究下列問題：

①若一個函數(shù)的特征數(shù)為[4，－1]，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，求得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)；

②若一個函數(shù)的特征數(shù)為[2，3]，問此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移，才能使得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)為[3，4]?

Answer 1

【答案】(1) (1，0)；(2) ① [2，－3]，②見解析

【解析】試題分析：首先根據(jù)函數(shù)的特征數(shù)可以確定函數(shù)表達式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以可得出頂點坐標為：（1,0）；先根據(jù)函數(shù)的特征數(shù)寫出函數(shù)的表達式，將表達式寫成頂點式，然后再平移，平移時規(guī)律為左加右減，上加下減。求出平移后的函數(shù)表達式是頂點式，將頂點式化成y＝x2＋px＋q的形式，即可求得特征數(shù)；如果已知兩個函數(shù)的特征數(shù)，要想知道兩個函數(shù)怎么平移得到的，需先將兩個函數(shù)都轉(zhuǎn)化成頂點式，再根據(jù)兩個函數(shù)頂點式判斷平移方法。

解：(1)由題意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.

∴特征數(shù)為[－2，1]的函數(shù)圖象的頂點坐標為(1，0)．

(2)①特征數(shù)為[4，－1]的函數(shù)表達式為y＝x2＋4x－1

即y＝(x＋2)2－5.

∵函數(shù)圖象先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，

∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3.

∴特征數(shù)為[2，－3]．

②特征數(shù)為[2，3]的函數(shù)表達式為y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，

特征數(shù)為[3，4]的函數(shù)表達式為y＝x2＋3x＋4，即

y＝(x＋)2＋，

∴所求平移為：先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度(或先向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度)．