Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，O為原點，ABCD的邊AB在x軸上，點D在y軸上，點A的坐標為（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，點E是BC邊上一點，CE=3EB，⊙P過A、O、D三點，拋物線y=ax2+bx+c過點A、B、D三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：DE是⊙P的切線；

（3）若將△CDE繞點D順時針旋轉90°，點E的對應點E′會落在拋物線y=ax2+bx+c上嗎？請說明理由；

（4）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；（2）證明見解析； （3）點E'不在拋物線上，理由見解析；（4）N1（3，﹣），N2（5，），N3（﹣3，）．

【解析】分析：（1）先確定出點B的坐標，進而求出點D的坐標，最后用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先求出CE=3，利用兩邊對應成比例，夾角相等判斷出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，結論得證；

（3）先利用旋轉求出點E'的坐標，最后判定點E'是否在拋物線上；

（4）分三種情況，利用線段的中點坐標公式，和平行四邊形的對角線互相平分建立方程求解即可得出結論．

詳解：（1）∵A（﹣2，0），AB=6，

∴B（4，0），

∴OB=4，

∵DO⊥AB，∠BAD=60°，

∴OD=OAtan60°=2，

∴D（0，2），

∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，D；

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）A（﹣2，0），

∴OA=2，

在Rt△AOD中，∠BAD=60°，

∴OD=2，AD=4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠CAD=∠C=60°，CD=AB=6，BC=AD=4，

∵CE=3EB，

∴CE=3，

∴，，

∴，∵∠OAD=∠C，

∴△OAD∽△ECD，

∴∠ODA=∠EDC，

∵∠ODC=90°，

∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=∠EDC+∠ODE=90°，

∵點D在⊙P上，

∴DE是⊙P的切線；

（3）點E'不在拋物線上，理由：如圖1，

∵∠ADE=90°，

∴點E'落在DA的延長線上，點C'落在y軸上，

∴C'（0，﹣6），

由旋轉知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，

過點E'作E'H⊥DC'于H，

∴E'H=C'E'sin60°=，C'H=C'E'cos60°=，

∴OH=DC'﹣C'H﹣OD=，

∵點E'落在第三象限，

∴E'（﹣，2﹣），

當x=﹣時，y=﹣×（﹣）2+×（﹣）+2=﹣≠2﹣，

∴點E'不在拋物線上；

（4）如圖2，由（1）知，拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

∴M（1，），

∵B（4，0），D（0，2），

設N（m，n），

∵以點B、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當BD與MN是對角線時，

∴（m+1）=×4，（n+）=×2，

∴m=3，n=﹣，

∴N1（3，﹣），

②當BM與DN是對角線時，同①的方法得，N2（5，），

③當BN與DM是對角線時，同①的方法得，N3（﹣3，）．