Question

【題目】如圖，已知內于，為的直徑，，交的延長線于點．

（1）為的中點，連接，求證：是的切線；

（2）若，求的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠A=30°．

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠1，根據三角形的中位線的性質得到OE∥AD，得到∠2=∠3，根據全等三角形的性質得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切線；
（2）由AB為⊙O的直徑，得到BC⊥AD，根據相似三角形的性質得到BC2=ACCD，得到tan∠A=，于是得到結論．

（1）連接OC，

∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AO=OB，E為BD的中點，
∴OE∥AD，
∴∠1=∠3，∠A=∠2，
∴∠2=∠3，
在△COE與△BOE中，

，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE=∠ABD=90°，
∴CE是⊙O的切線；
（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴BC2=ACCD，
∵AC=3CD，
∴BC2=AC2，
∴tan∠A=，
∴∠A=30°．