Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．

（1）求證：AD=BD；

（2）求證：DF是⊙O的切線

（3）若⊙O直徑為18，，求DE的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；

（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DF⊥AC，可證DF⊥OC，即可證得結論；

（3）連接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，sinB=，求得CD=6，則AD=，在△ACD中，利用面積法即可求出DE的長．

證明：（1）連接CD

∵BC為⊙O的直徑，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC，

∴AD=BD．

（2）連接OD；

∵AD=BD，OB=OC，

∴OD是△BCA的中位線，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴DF⊥OD．

∵OD為半徑，

∴DF是⊙O的切線

（3）在Rt△BCD中，

即，∴CD=6

在Rt△ACD中,

根據直角三角形的面積可得：

．